Calculadora de matrices

1. Definición y fórmula: ¿qué es la traza de una matriz?

The trace of an $n\times n$ square matrix $A=[a_{ij}]$ is the sum of its diagonal entries:

Trace is only defined for square matrices and is a simple, useful invariant in linear algebra.

Propiedades clave:

• Linearity: $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$ and $\mathrm{tr}(cA)=c\,\mathrm{tr}(A)$.
• Similarity invariance: if $B=P^{-1}AP$, then $\mathrm{tr}(B)=\mathrm{tr}(A)$.
• Cyclic property: $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ (when dimensions agree).

2. Cómo calcular la traza (regla rápida)

To compute the trace, simply add the diagonal entries of a square matrix. You do not need row reduction, determinants, or inversion.

3. Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (2×2)

Calcula la traza:

Ejemplo 2 (3×3)

Calcula la traza:

4. Errores comunes

• Aplicar la traza a matrices no cuadradas: trace is not defined for non-square matrices.
• Incluir entradas fuera de la diagonal: only add diagonal elements $a_{11},a_{22},\dots$.
• Olvidar los signos: negative diagonal entries must be included correctly.
• Esperar que la traza sea igual al determinante: trace and determinant are different invariants.

5. Problemas de práctica (respuestas ocultas)

Try these; click Mostrar respuesta to reveal the trace.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4